Dari kejadian sederhana ini kita akan menghitung frekuensi relatif. Apa pengertian frekuensi relatif? Untuk lebih mudah memahami tentang frekuensi relatif silahkan simak ilustrasi berikut. Budi memiliki sebuah uang koin yang akan digunakan untuk melakukan percobaan statistika. Budi melempar uang koin sebanyak 100 kali, ternyata muncul sisi angka sebanyak 56 kali.
Uang koin
Perbandingan banyak kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah 56/100. Nilai ini dinamakan frekuensi relatif munculnya angka. Jadi, frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan.
Jika sebuah dadu dilempar 30 kali dan muncul muka dadu bernomor 6 sebanyak lima kali, dapatkah Anda hitung berapakah frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 6? Ya, jawabannya adalah 1/6.
Berdasarkan uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi relatif (fr) munculnya suatu kejadian (K) yang diamati dari n percobaan, dapat dirumuskan sebagai berikut:
fr = K/n
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang frekuensi relatif, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomor 6 sebanyak 16 kali. Tentukan frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 6.
Penyelesaian:
n = 100
K = 16
fr = K/n
fr = 16/100
fr = 0,16
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 6 adalah 0,16.
Oke, demikian pemaparan tentang pengertian frekuensi relatif suatu kejadian. Apakah hubungan antara frekuensi relatif dan peluang suatu kejadian?
Untuk memahami hubungan antara frekuensi relatif suatu kejadian dengan peluang suatu kejadian. Silahkan simak ilustrasi berikut. Budi dan teman-temannya kembali melakukan percobaan statistika dengan cara melemparkan uang koin untuk menentukan frekuensi relatif munculnya koin sisi angka, maka diperoleh tabel seperti di bawah ini.
Berdasarkan tabel hasil percobaan statistika yang dilakukan oleh Budi dan kawan-kawan menunjukan menunjukkan bahwa semakin banyak lemparan yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka akan mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu 0,5. Bilangan ini disebut peluang dari kejadian muncul sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui pendekatan frekuensi relatif.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang frekuensi relatif suatu kejadian, berikut Mafia Online berikan contoh lain. Silahkan simak contoh soalnya di bawah ini.
Contoh Soal 2
Wawan melempar dadu sebanyak 200 kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai berikut.
a. Bertitik 1 sebanyak 25 kali.
b. Bertitik 3 sebanyak 17 kali.
c. Bertitik 6 sebanyak 56 kali.
Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 3, dan 6.
Penyelesaian:
n = 200
a) Jika yang muncul (K) bertitik 1 sebanyak 25 kali, maka:
fr = K/n
fr = 25/200
fr = 0,125
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 1 adalah 0,125.
b) Jika yang muncul (K) bertitik 3 sebanyak 17 kali, maka:
fr = K/n
fr = 17/200
fr = 0,085
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 3 adalah 0,085
c) Jika yang muncul (K) bertitik 6 sebanyak 65 kali, maka:
fr = K/n
fr = 65/200
fr = 0,325
Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 6 adalah 0,325.
2. pengertian percobaan, kejadian, titik sampel dan ruang sample
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar. Contoh: 1. Pada percobaan melempar sebuah dadu. a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka: A = { 2, 4, 6 } b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka: B = { 2, 3, 5 } c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka: C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
7. 5. Pelemparan 2 mata uang logam dengan menggunakan tabel : A G A AA GA G AG GG S = { AA, GA, AG, GG } dengan menggunakan diagram pohon : A AA G AG A GA A G G G G
Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian
Pada pelemparan sekeping uang logam yang dilakukan oleh wasit pada saat kick off pertandingan sepak bola, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Di mana peristiwa ini merupakankejadian acak karena kita tidak tahu sisi mana yang akan muncul, tetapi akan ada dua kemungkinan yang muncul yaitu sisi angka (A) atau sisi gambar (G).
Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan denganhimpunan, misalnya S, menjadi S = {A,G}. Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, dilambangkan dengan S. Adapun anggota-anggota dari S disebut titik sampel. Banyak anggota (titik sampel) suatu ruang sampel dinyatakan dengan n(S).
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang pengertian titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal
Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah dadu.
Penyelesaian:
Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah munculnya muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengan demikian, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.
Berdasarkan pemaparan dan contoh soal di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan, sedangkan titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin. Bagaimana cara menentukan ruang sampel dari titik sampel?
Ada tiga cara yang bisa digunakan untuk menentukan ruang sampel dari titik sampel, yaitu dengan mendaftar, diagram pohon dan tabel. Berikut penjelasannya masing-masing cara tersebut.
Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar
Untuk menentukan ruang sampel dengan cara mendaftar dapat diambil contoh pada pelemparan sebuah uang koin. Pada pelemparan uang koin kemungkinan muncul sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Bagaimana jika melempar tiga uang koin sekaligus?
Pada pelemparan tiga uang koin sekaligus, misalkan muncul sisi angka (A) pada mata uang pertama, muncul sisi gambar (G) pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka (A) pada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian lain yang mungkin dari pelemparan tiga uang koin sekaligus adalah AAA, AAG, GAA, AGG, GAG, GGA, atau GGG. Jika ruang sampelnya ditulis dengan cara mendaftar, maka diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga diperoleh banyaknya ruang sampel adalah n(S) = 8.
Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon
Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggota ruang sampel adalah menggunakan diagram pohon. Diagram pohon adalah suatu diagram yang berbentuk pohon. Dalam hal ini diagram pohon digunakan untuk mempermudah kita dalam menghitung banyaknya ruang sampel dari suatu kejadian. Untuk contohnya dapat kita ambil pada contoh sebelumnya yaitu pada pelemparan tiga uang koin sekaligus.
Untuk pelemparan uang koin yang pertama, kejadian yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau gambar (G). Diagramnya pohonnya dapat dilihat seperti gambar di bawah ini.
Untuk pelemparan uang koin yang kedua, kejadian yang mungkin adalah sama. Dengan menambahkan pada diagram pohon yang pertama, maka diagram pohon untuk pelemparan dua uang koin dapat dilihat seperti gambar di bawah ini.
Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama. Dengan menambahkan pada diagram pohon yang kedua maka, diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata uang tampak pada gambar di bawah ini.
Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel
Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, Mafia Online ambil contoh pada pelemparan dua buah dadu sekaligus. Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya pada dadu pertama muncul muka dadu bertitik 2 dan pada dadu yang kedua muncul muka dadu bertitik 3. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2, 3).
Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut.
Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga n(S) = 36.
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan ruang sampel suatu kejadian, perhatikan contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal
Tentukan ruang sampel dan banyaknya ruang sampel dari percobaan melempar empat keping uang koin sekaligus.
Penyelesaian:
Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan empat keping uang koin sekaligus, dapat digunakan diagram pohon yakni seperti gambar di bawah ini.
Jadi, ruang sampel dari pelemparan tiga uang koin adalah S = {AAAA, AAAG, AAGA, AAGG, AGAA, AGAG, AGGA, AGGG, GAAA, GAAG, GAGA, GAGG, GGAA, GGAG, GGGA, GGGG} dan banyaknya ruang sampelnya adalah n(S) = 16.
4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan 
dibaca “Kejadian A dan B”
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika 
. Sehingga 
Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka 
Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap 
maka:
Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :
Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan :
dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B” Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :
2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku
Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas. 3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika
adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas. 4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:
Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap
dan setiap maka: Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :
2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :
Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, .... ,n Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal
